WisFaq!

Bewijzen eigenschappen kromme van Gauss

hmmm 'k heb hier zo'n een opdracht wer da'k begot geen gedacht van heb .

f(x) = [1/((sigma)*sqrt(2*pi))]*[e^((-(x-mu)^2)/(2*sigma^2)))]

functie normale verdeling , gauss

nu zijn de vragen :

1.x-waarde waarvoor f(x) maximaal is
2.[f(x)]max ( de waarde denk'k )

3. symmetrie t.o.v x = mu f(mu + k)=f(mu - k)

4. buigpunten grafiek : x = mu - sigma
x = mu + sigma

voor de conventie : mu = gemiddelde waarde
sigma = standaardafwijking




alvast erg bedankt , dit zou wel eens een vraag voor het mondelinge examen kunnen zijn !

benjamin

benjamin
15-5-2003

Antwoord

f(x)=(1/(sÖ(2p))).exp{(-(x-m)²/2s²)}
= C.exp{(-(x-m)²/2s²)}

1. x-waarde is maximaal (of minimaal) wanneer f'(x)=0
dus eerst f'(x) uitrekenen:

f'(x)=C.exp{(-(x-m)²/2s²)}.(-2(x-m)/2s²)

dus f'(x)=0 als x=m
(check grafiek)

2.
f(x)|_max = f(m) (volgt uit het voorgaande)=
(1/(sÖ(2p))).exp{(-(m-m)²/2s²)}
= (1/(sÖ(2p))).exp{0}
= (1/(sÖ(2p))).1
= (1/(sÖ(2p)))

3.
f(m-k)
= C.exp{(-(-k)²/2s²)}
= C.exp{(-k²/2s²)}

f(m+k)
= C.exp{(-(+k)²/2s²)}
= C.exp{(-k²/2s²)}

dus f(m-k)=f(m+k)

4.
buigpunten:
f"(x)=0

bereken f"(x):
ga uit van het eerder bereikte resultaat
f'(x)=C.exp{(-(x-m)²/2s²)}.(-2(x-m)/2s²)
en probeer het eerst eens zelf.

groeten,
martijn

mg
15-5-2003