WisFaq!

Logaritmen berekenen met de hand

Ik heb gelezen dat Briggs voor het maken van de tabel van logaritmen, eerst de logaritme van 1,0000000000000001 berekende. Dit is 0,0000000000000000434294481903245.
Aan de hand van deze gegevens zou hij de tabellen gemaakt hebben. Maar hoe heeft hij dat dan met deze gegevens gedaan en waarom berekende hij daarvoor de logaritme van 1,0000000000000001 ?

Ik hoop dat u me kunt helpen!!

M.
15-5-2003

Antwoord

Niet helemaal: Eigenlijk rekende Briggs met een stelsel, zoiets als het volgende: 2 ; 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ; 1,0001, 1,00001.
De bijbehorende ¹⁰log waarden zijn dan:
0,301030 ; 0,041393 ; 0,004321 ; 0,000434 ; 0,000043 ; 0,000004
Hoe reken je nu hiermee de ¹⁰log(433,82) uit ?
Briggs bracht dit eerst terug naar een getal tussen de 0 en 1. Dus 433,82=0,43382·1000
Vervolgens nam hij 0,43382 als uitgangspunt en probeerde door vermenigvuldiging met de getallen uit zijn stelsel daar 1 van te maken. Door de structuur van zijn stelsel zijn deze vermenigvuldigingen telkens heel eenvoudig. Het rijtje dat je dan krijgt is:
0,43382·2=0,86764
0,86764·1,1=0,954404
0,954404·1,01=0,96394
0,96394·1,01=0,97359
0,97359·1,01=0,98332
0,98332·1,01=0,993157
0,993157·1,001⁶=0,99913
0,999130·1,0001⁸=0,99993007
0,99993007·1,00001⁷ = 1 (klopt niet helemaal)
Dus 0,43382·2·1,1·1,01⁴·1,001⁶·1,0001⁸·1,00001⁷=1
Neem je nu de ¹⁰log en gebruik je de eigenschappen van de logaritme dan geldt:
log 0,43382=0-log(2)-log(1,1)-4·log(1,01)-6·log(1,001)-8·log(1,0001)-7·log(1,00001)=
-0,301030-0,041393-4·0,004321-6·0,000434-8·0,000043-7·0,000004= -0,362682
Dus ¹⁰log(433,82) = -0,362682 + 3 = 2,637318
Klopt vrij aardig ondanks de afrondingen. Natuurlijk wilde Briggs de logaritmen in 14 decimalen nauwkeurig, vandaar dat doorgaan tot 1,00000000000000001 of zo maar het principe blijft hetzelfde namelijk met een beperkt aantal basislogaritmen de logaritmen van alle andere getallen uitrekenen.

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
15-5-2003