WisFaq!

Kansberekening (diversen)

Beste wiskunde-fanaat,

Tijdens het maken van alle zogenaamde 'tussentoetsen' kwam ik een heel eind, maar bleef ik desondanks nog met een paar vragen zitten, waaronder de volgende:

Vraag 1) Veronderstel dat de kans dat een willekeurig gekozen persoon in een aangewezen maand jarig is, voor alle maanden (incl. febr.) 1/12 is. Bereken hieruit de kans dat 5 willekeurig gekozen personenen alle 5 in verschillende maanden jarig zijn.

Mijn eigen beredenering was 11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12 x 7/12. Nu zegt het antwoord boekje aleen het volgende: 11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12. Ik vroeg me af: Klopt dit nou? Of is dit gewoon een fout van het antwoordenboekje?

Vraag 2) Een tijdschriftenkiosk verkoop dagblad trouw. De willekeurige kansverdeling van stochast X is als volgt:
30 35 40 45 50
.10 .35 .30 .20 .05
De tijdschriftenverkoper koopt dagelijks 40 trouw-dagbladen in. Deze koopt hij in voor E 1.40 en verkoopt ze voor E 2.50. De kranten die niet worden verkocht worden weggegooid. Bereken de verwachte winst van de kioskhouder bij een inkoop van 40 exemplaren.

Mijn eigen beredenering was: (.10 x 19) + (.35 x 31.5) + (.30 x 44). Het antwoordboekje deelt deze mening vrijwel in zijn geheel, maar zegt alleen bij de laatste dat het is (.55 x 44). Ze tellen dus de kansen van 40, 45 en 50 kranten verkopen bij elkaar op. (de winst blijft hetzelfde, dus gewoon 44, want je gooit niks meer weg vanaf 40 kranten verkopen). Ik vroeg me alleen af: waarom die kansen van 40, 45 en 50 bij elkaar optellen? Je kan toch niet meer dan 40 kranten verkopen als je er 40 inkoopt?

vraag 3) Een spel dat wordt gespeeld met 3 dobbelstenen werkt als volgt: de speler zet E 1,- in op 1 van de 6 getallen op een dobbelsteen. Daarna werpt hij met de 3 dobbelstenen. Verschijnt zijn getal 3 x, dan krijgt hij 4 x E 1,- uitbetaald. Bij 2 of 1 x verschijnen van het getal, krijgt hij respectievelijk E 3,- of E 2,- uitgekeerd. De vraag is bereken de verwachtingswaarde van de winst.

Ik kwam hier echt niet verder dan de beginnotaie E(W) =

Vraag 4) Een fabrikant garandeert dat minstens 95% van de door hem geleverde producten voldoet aan de juiste eisen. Om dit te controleren telt een consument in een aselecte steekproef van 100 examenplaren hoeveel er niet deugen. p=aantal dat niet deugt. De vraag is nu: stel dat p=.05. Zoek hierbij het grootste getal g met P(X g) 5%.

Zelf kwam ik hier helemaal niet uit, zelfs geen beginnetje.

Vraag 5 (de laatste)) In 1977 bleek de gemiddelde lengte van 100000 diensplichtigen (18.5 jaar) normaal verdeeld met Norm(180.1, 7.2). Men vermoedt dat deze gem. lengte inmiddels is toegenomen en doet een aselecte steekproef van 16 personen waaruit blijkt dat de gem. lengte nu 182.6 is bij 18.5 jarigen. De standaardafwijking is niet veranderd. De vraag is nu: is het gevonden resultaat op 5%-niveau significant? De volgende vraag die ik wederom niet snap is: de steekproef is maar klein. Dus stel dat je een steekproef hebt met lengte n, waarbij het gemiddelde 182.6 is. Hoe groot moet n dan zijn om significantie te vinden?

Ik kwam zelf zover:
H0 : m = 1.80
H1 : m ¹ 180.1
X: gemiddeld lengte v/d mannelijke diensplichtigen in de steekproef
X: Norm (m, 7.2/ Ö16)-verdeeld.

Als laatste: zouden jullie nog even snel wilen uitleggen wat in een vraag nu de H0 is en wat de H1, want ik draai ze nog wel eens om en vind het lastig om zo te bepalen wat wat nu is. Ik weet dat H0 verwerpelijk is, maar ook dan gaat het nog wel eens mis.

Dit was het wel. Alvast heel erg bedankt.

Met vriendelijke groeten,
S. Radstaak

Sjoerd Radstaak
15-5-2003

Antwoord

Dat zijn veel vragen, maar gelukkig heb je al wat voorwerk gedaan.

1) Dat komt omdat je de eerste verjaardag vergeten bent, dat mag in elke maand zijn. De tweede moet in een andere maand vallen etc. Het is dus: 12/12 x 11/12 x 10/12 x 9/12 x 8/12.

2) Ook al was de vraag meer dan 40, je kunt inderdaad dan maar 40 kranten verkopen, de kans daarop is dus .30 + .20 + .05 = .55 (bij een vraag van 45 of 50 moet je dus soms 'nee' verkopen).

3) Je moet de kansverdeling maken van X = aantal keer dat het gekozen getal valt. X = Bin(3, 1/6) verdeeld.
Daarna bereken je: E(W) = -1·P(X=0) + 1·P(X=1) + 2·P(X=2) + 3·P(X=3).

4) Het aantal X dat niet deugt is Bin(100, 0.05) verdeeld.
P(X g) = 1 - P(X g-1). Maak nu een tabel, met de TI83 gaat dat met
Y1 = 1 - binomcdf(100, 0.05, X-1) en kijk tot en met welke X die kans minder dan 0,05 is.

5a) De nulhypothese (vaak het eerste gegeven, het uitgangspunt) is
Ho: m = 180,1
De alternatieve hypothese (dat wat op basis van een steekproef wordt vermoedt) is
H1: m 180,1
De stochast die je bekijkt is het steekproefgemiddelde X.
Wegens de Ön-wet is X, bij een steekproef met n=16, Norm(180.1 , 7.2/Ö16) verdeeld onder Ho.
De overschrijdingskans is hier:
P(X 182,6) = normalcdf(182.6 , 10^99, 180.1, 1.8) 0,08 en dit is meer dan 5%. Er is dus géén significante afwijking.

5b) Bij dezelfde Ho en H1 is nu gegeven: P(X 182.6) 0,05.
(X is nu Norm(180.1, 7.2/Ön) verdeeld!)
Maak een tabel met de grafische rekenmachine, en kijk voor welke n dat voor het eerst zo is:
X | Y1
22 | 0,0517
23 | 0,04793
Het antwoord: n moet dus minstens 23 zijn.

Ik hoop dat je weer verder kunt.

jr
15-5-2003