WisFaq!

Primitieve bepalen

Ik moet de primitieve bepalen van de volgende functie: x²+2x*exp(-x)+(exp(-x))².

Ik heb de eerste en de derde term op kunnen lossen(1/3 x³ en -1/2 (exp(-x))²) , maar de middelste term gelukt mij niet. Kunt u mij hiermee helpen.

Eelco
13-5-2003

Antwoord

Hoi Eelco,

De vraag is dus: wat is een primitieve van 2x*exp(-x).
Een ding is zeker: in de primitieve staat ook een factor exp(-x), maar daar kom je nog niet zoveel verder mee.

Ik zou deze term primitiveren met partiële integratie. Dit heb je waarschijnlijk nog niet gehad, maar ik zal proberen het je uit te leggen: De primitieven van een functie h(x)noteer ik met ̣h(x)dx (een integraal zonder grenzen). Dan is er een stelling die zegt:

̣(f(x)g'(x))dx = f(x)g(x)-̣f'(x)g(x)dx

We willen de primitieve bepalen van 2x*exp(-x). Als je kiest:
f(x)=2x en g'(x)=exp(-x)
dan kun je de stelling toepassen, namelijk
̣(f(x)g'(x))dx=̣2x*exp(-x) dx, de primitieve die we willen uitrekenen.
Volgens de stelling is dit gelijk aan
f(x)g(x)-̣f'(x)g(x)dx
Hier staan twee functies in die we nog niet kennen, maar wel kunnen uitrekenen, namelijk g(x) en f'(x). In dit geval:
g(x)=-exp(-x) en f'(x)=2
Dus:
̣2x*exp(-x) dx=2x*-exp(-x)-̣2*-exp(-x)
Nu moeten we nog de uitdrukking ̣2*-exp(-x) bepalen, dat wil zeggen: een primitieve voor 2*-exp(-x) vinden. Dat is al wat gemakkelijker dan wat we eerst hadden, namelijk:
̣2*-exp(-x)=2*exp(-x)
Dus de gezochte primitieve is:
2x*-exp(-x)-2*exp(-x)=-2*(x+1)*exp(-x)
Klaar!

controleer altijd even of de gevonden primitieve goed is door m te differentieren; je zal zien dat het klopt.

als je nog vragen hebt, aarzel niet te reageren!

groet,

Casper

cz
13-5-2003