WisFaq!

Exacte waarden

Welke formules kan ik afleiden van deze twee formules:
sin(a+b)=sin a * cos b + cos a * sin b
cos(a+b)= cos a*cos b - sin a * sin b
Kunt u er alstublieft een analyse bij geven?

Margot
13-5-2003

Antwoord

bv de dubbele hoek formules (vul
sin(2a) =sin(a+a)=sin(a)·cos(a)+cos(a)·sin(a)= 2·sin(a)·cos(a)
cos(2a) =cos(a+a)=cos(a)·cos(a)-sin(a)·sin(a)= cos²(a)-sin²(a)

maar nu kun je deze weer verder ontwikkelen...
sin(3a) =sin(a+2a)=sin(a)·cos(2a)+cos(a)·sin(2a)=sin(a)·[cos²(a)-sin²(a)]+cos(a)·2·sin(a)·cos(a)
= 3·sin(a)·cos²(a)-sin³(a)
cos(3a) =cos(a+2a)=cos(a)·cos(2a)-sin(a)·sin(2a)=cos(a)·[cos²(a)-sin²(a)]-sin(a)·2·sin(a)·cos(a)
= cos³(a)-3·sin²(a)·cos(a)

en zo kun je wel veel verder gaan maar het is jammer dat enkel met deze twee regels niet zo mooie resultaten verkregen worden...

Als bijvoorbeeld ook sin²+cos²=1 gebruikt mag worden geldt ook:
sin(2a) = 2·sin(a)·cos(a)
cos(2a) = cos²(a)-sin²(a) = 1-2·sin²(a) = 2·cos²(a)-1
en zo ook:
sin(3a) = 3·sin(a)-4·sin³(a)
cos(3a) = 4·cos³(a)-3·cos(a)

Als ook bekend is dat sin(a)=-sin(-a) en cos(a)=cos(-a) kan afgeleid worden dat sin 0=0 en cos(0)=1

MvdH
13-5-2003