WisFaq!

Parabool gedeeld door lijn

Welke grafieken krijg je bij parabool gedeeld door lijn in verschillende categorieen? Hoe kun je bewijzen dat, dat alle grafieken zijn?

Maarten Broekroelofs
13-5-2003

Antwoord

een parabool is een functie van de vorm: ax²+bx+c
een lijn is van de vorm: dx+e

het quotient is van de vorm: (ax²+bx+c)/(dx+e)
geval 1: d=0 (= e0!): (ax²+bx+c)/(dx+e)=Ax²+Bx+C, met A=a/e, B=b/e & C=c/e...
de grafiek is nu dus een parabool en klaar...

geval 2: d0: (ax²+bx+c)/(dx+e) heeft slechts vier vrijheidsgraden...
immers kunnen de variabele op een nieuwe manier gekozen worden zdd de fie te schrijven is als:
(Ax²+Bx+C)/(x+E) met A=a/d, B=b/d, C=c/d & E=e/d

Nu geldt: (Ax²+Bx+C)/(x+E) = Ax + (B-AE) + (C-BE+AE²)/x+E
we nemen de volgende transformatie: P=A=a/d, Q=B-AE=(bd-ae)/d², R=(C-BE+AE²)=(cd²-bed+ae²)/d² & S=-E=-e/d...

Het vraagstuk komt dus neer op het beschouwen van alle grafieken van Px+Q+R/(x-S)
De grafiek heeft een verticale asymptoot bij x=S.
De grafiek heeft een horizontale schuine asymptoot en nadert de lijn Px+Q willekeurig dicht.

MvdH
13-5-2003