WisFaq!

Veelvouden met gelijke cijfers

Beste WisFaq,

Ik stuitte op een gegeven moment op het gegeven dat 3 x 1.008 en 4 x 1.008, resp. 3.024 en 4.032, dezelfde cijfers hebben. Zo ook 3 x 44.901 en 7 x 44.901, resp. 134.703 en 314.307. Of de veelvouden van 142.857 (= 999.999 / 7):
142.857, 285.714, 428.571, 571.428, 714.285 en 857.142

Ik bedacht om op de computer een programmaatje te maken dat deze getallen zoekt. Zo blijken er ook voorbeelden te bestaan van 9 cijfers. Dat was helaas de grens voor mijn programma. Zo ben ik erook achter gekomen dat er oneindig veel voorbeelden bestaan: 4 x 12 en 7 x 12 zijn gelijk, maar ook 4 x 102 en 7 x 102, 4 x 1.002 en 7 x 1.002, enzovoorts. Als ik al dit soort flauwe gevallen uitsluit, ook tienvouden en getallen als 1.212, zijn er dan oneindig veel van dit soort getallen?

Erik Leppen
12-5-2003

Antwoord

Beste Erik,

Stel dat een getal P een deler is van 10ⁿ-1 voor een bepaalde n. Schrijf dan dat getal als een getal met n cijfers door er desnoods een aantal nullen voor te plakken. Dan zijn alle getallen die je krijgt door achtereenvolgens een aantal keer het eerste cijfer naar de laatste plaats te brengen veelvouden van dezelfde P.

Bijvoorbeeld: 37 is een deler van 999 = 10³-1.
We schrijven 37 als 037. Dan zijn 370 en 703 allebei veelvouden van 37.

Nog een: 47619 is een deler van 999999 = 10⁶-1. We schrijven 47619 als 047619. Dan zijn

476190
761904
619047
190476
904761

allemaal veelvouden van 47619.

Ik hoop dat dit je ervan overtuigt dat er inderdaad oneindig veel van dit soort getallen zijn.

FvL
13-5-2003