WisFaq!

Bewijs dat twee kegelsneden door één punt gaan

a) bewijs dat deze kegelsnede door één punt gaat
b) geef het punt

24y²+t·xy-24x²-48y+336x-576=0
(t element van R)

Groetjes op voorhand uit België

Compugreeen
11-5-2003

Antwoord

Ik ken de finesses van de kegelsnedentheorie niet meer van buiten, dus ik weet ook niet of er een specieke "kegelsnedenaanpak" voor dit vraagstuk bestaat. Ik geef je hier mijn oplossing.

De vergelijking

24y² + txy - 24x² - 48y + 336x - 576 = 0

stelt een familie kegelsneden voor. Voor elke waarde van t bekom je een ander exemplaar. Bekijk nu een specifiek punt (x,y). Als dat punt tot alle exemplaren van de familie moet behoren, behoort het zeker ook tot het exemplaar t=0 en is dus

24y² - 24x² - 48y + 336x - 576 = 0

Hieruit volgt dan weer dat, als dat punt ook nog eens moet behoren tot de andere exemplaren, er moet gelden dat txy = 0. De invloed van de parameter t moet met andere woorden teniet worden gedaan. Voor de punten die we zoeken, moet dus x=0 of y=0.

Stel x=0 in de vergelijking van de kegelsnedenfamilie en los de kwadratische vergelijking in y op. Je bekomt de punten (0,6) en (0,-4).

Stel y=0 in de vergelijking van de kegelsnedenfamilie en los de kwadratische vergelijking in x op. Je bekomt de punten (2,0) en (12,0).

Dat zijn meteen de VIER punten die elk van de kegelsneden die je hebt opgegeven, gemeen hebben.

cl
11-5-2003