WisFaq!

De algemene formule van een cirkel

Voor ons PO wiskunde moeten we de vraag beantwoorden wat de algemene formule van een cirkel is. Dit hebben we helaas nog niet behandeld en we kunnen het niet vinden in ons boek of de binas. We dachten zelf in eerste instantie aan de gonio vergelijkingen. x= a+coswt en y= b+sinwt maar vervolgens werd de vraag gesteld of en hoe je het snijpunt kan berekenen van een parabool en een cirkel. Maar volgens ons kan dit niet op deze manier, hoe wel? BVD SPOED!!!

Maayke Meijering
11-5-2003

Antwoord

de algemene vergelijking van een cirkel luidt:
(x-a)²+(y-b)²=r²

Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt (a,b) en straal r.
Voorbeeld
(x+3)²+(y-2)²=7
Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt (-3,2) en straal √7

Hoe bereken je hiermee het snijpunt met een parabool?
Wel, een parabool heeft als algemene vergelijking:
y=ax²+bx+c.
Deze y substitueer je in de cirkelvergelijking, waardoor je in de cirkelvergelijking alleen maar x-en krijgt. Dit is in principe op te lossen. Elke x-waarde die eruit rolt, vul je in in de paraboolvergelijking en dat levert je de bijbehorende y-waarde.

Wat je noemde over
x=a+cos$\omega$t en y=b+sin$\omega$t, MOEt trouwens zijn
x=a+r.cos$\omega$t en y=b+r.sin$\omega$t
(in het 1e geval heb je een cirkel met straal 1, in het tweede geval een cirkel met straal r)
Dit heet geen 'vergelijking' maar een 'parametervoorstelling'.
Hierin is t de parameter.
Omdat t alle waarden kan doorlopen die je wilt, mag je voor het gemak stellen dat $\omega$=1
dus: x=a+r.cost en y=b+r.sint
Deze x en y beschrijven een cirkelbaan naarmate t de waarden van 0 tot 2$\pi$ doorloopt.
Deze uitdrukkingen voor x en y vul je in in de paraboolvergelijking y=ax²+bx+c
en daardoor krijg je een vergelijking met als enige variabele de 't'.
Ook dit is in principe oplosbaar. De waarden van t die eruit rollen, vul je in in de parametervoorstelling en dat levert je de bijbehorende paren x,y oftewel de snijpunten van de cirkel met de parabool.

groeten,
martijn

mg
11-5-2003