WisFaq!

Re: Onbepaalde integralen

Ik heb met behulp van uw tips de opgaven proberen op te lossen, maar ik kom er nog niet helemaal uit. Ik heb het volgende gedaan:
a)
ò8/(x²-7x+12) dx
=ò8/(x-3)(x-4) dx
=8ò1/(x-3) dx + 8ò1/(x-4) -- voor mijn gevoel gaat het hier verkeerd
=8 ln(x-3) + 8 ln(x-4)

Maple geeft echter als antwoord: -8 ln(x-3)+8 ln(x-4)

b)
ò(2x-1)/(x²2-x-2)dx
=ò(2x-1)/(x-2)(x+1) dx
Na lang proberen kom ik maar niet uit deze som.

c)
òx*exp(4x) dx
=òx d exp(4x)
Ook na lang uitproberen van deze som, kom ik er maar niet uit :-(.

Kunt u mij verder helpen?

Eelco
8-5-2003

Antwoord

**** DEEL A ****

1/[(x-3)(x-4)] is niet zomaar 1/(x-3) + 1/(x-4), maar wel

A/(x-3) + B/(x-4) = [Ax-4A+Bx-3B]/[(x-3)(x-4)]

De teller moet nu gelijk zijn aan de VEELTERM 8. De coefficient van x in de teller, A+B, moet dus gelijk zijn aan nul, en de constante, -4A-3B, moet gelijk zijn aan 8. Oplossen van dit stelsel geeft, A=-8 en B=8. Dus

1/[(x-3)(x-4)] = -8/(x-3) + 8/(x-4)

**** DEEL B ****

Zelfde methode als in deel A. Dus gelijkstellen aan A/(x-2) + B/(x-1), en A en B zoeken. Dit is een gekende methode die "breuksplitsen" of "splitsen in partieelbreuken" heet. Dit moet je zeker gezien hebben in de les.

**** DEEL C ****

Ook hier weer een standaardvoorbeeld. Deze techniek heet partiele integratie. In formule vorm

òudv = uv - òvdu

Om iets achter het "d" teken te krijgen, moet je het integreren, aangezien f'(x)dx=d[f(x)]. Dus in jouw geval

òx exp(4x) dx
= òx d[exp(4x)/4]
= x exp(4x)/4 - òexp(4x)/4 dx
= x exp(4x)/4 - òexp(4x)/16

Je integreert dus niet de hele uitdrukking in een keer. Je neemt er iets uit, integreert alleen dat stukje (PARTIELE integratie) om het achter het "d" teken te krijgen en past dan de formule toe om een andere integraal te verkrijgen die hopelijk eenvoudiger is op te lossen. Meestal vraagt dit een beetje inzicht in welk stuk van de gevraagde integraal je best achter het "d" teken zou plaatsen, maar door wat oefeningetjes te maken, krijg je die ervaring wel. De exponentiele functie is een goed voorbeeld van een stuk dat SCHREEUWT om achter het "d" teken te worden geplaatst.

cl
8-5-2003