WisFaq!

Aftelbaarheid

Hoe kunnen wij in eenvoudig taalgebruik duidelijk maken dat de reële getallenverzameling niet aftelbaar is?
Wij weten dat zij niet aftelbaar is, immers het is een combinatie van rij Q en de irrationale getallen en dus niet aftelbaar. Of kun je met zo'n antwoord volstaan?

maarten en nathan
7-5-2003

Antwoord

Jullie argumentatie is niet afdoende, je weet immers niet of de irrationale getallen een niet aftelbare verzameling vormen.

We gaan het echt bewijzen, en wel door te bewijzen dat er meer dan aftelbaar veel reële getallen in het interval [0,1] liggen.
We doen dit met een bewijs uit het ongerijmde. We starten dus vanuit het tegenovergestelde: we nemen aan dat de reële getallen tussen 0 en 1 wél aftelbaar zijn.
Al deze getallen zijn van de vorm: 0,a₁a₂a₃.... , waarin alle a_i cijfers voorstellen.
Als je deze getallenverzameling wél zou kunnen aftellen, kon je ze nummeren, vanaf nummer 1 tot nummer … (oneindig!).
Nadat je alle getallen zo genummerd hebt, kun je ze onder elkaar schrijven:

Nummer 1: 0,a₁a₂a₃a₄a₅a₆.... ....
Nummer 2: 0,b₁b₂b₃b₄b₅b₆....
Nummer 3: 0,c₁c₂c₃c₄c₅c₆....
Nummer 4: 0,d₁d₂d₃d₄d₅d₆....
....

Nu hier alle getallen tussen 0 en 1 zijn opgeschreven, gaan we een nieuw getal maken. We zorgen er voor dat we zeker weten dat dit écht een nieuw getal is.
Dat doen we zo:
- de 1^e decimaal maken we verschillend van die van het eerste getal,
- de 2^e decimaal maken we verschillend van die van het tweede getal,
- de 3^e decimaal maken we verschillend van die van het derde getal,
- enzovoorts ....
Het proces eindigt natuurlijk nooit, maar dat geeft niks. Ons nieuwe getal is absoluut zeker een nieuw getal.

We hebben nu dus een tegenspraak: alle getallen tussen 0 en 1 hadden we afgeteld, maar dat bleek niet mogelijk. We hebben tenslotte een getal kunnen maken dat niet voorkomt in de lijst!

Conclusie: er zijn meer dan aftelbaar veel reële getallen.
In de literatuur wordt dit bewijs het diagonaalbewijs van Cantor genoemd.

jr
7-5-2003