WisFaq!

Breuksplitsen

Blijkbaar heeft al iemand een vraag gesteld over breuksplitsen. Ik zou willen vragen hoe je de breuk (x⁴-5)/(x⁴-1) kunt splitsen in vier termen. iemand heeft het al gevraagd maar ik snapte het niet. Zou mij dat kunnen vertellen? Groetjes, Amy

Amy
7-5-2003

Antwoord

(x⁴-5)/(x⁴-1)
= (x⁴-1-4)/(x⁴-1)
= 1-4/(x⁴-1)
ook geldt: x⁴-1 = (x²-1)·(x²+1) = (x-1)·(x+1)·(x²+1)

de stelling zegt dat er breuken zijn waarbij de graad van de teller telkens lager is dan de graad van de noemer en waarbij de noemer dezelfde nulpunten heeft als de originele breuk welke tesamen gelijk zijn aan de originele breuk (waarbij de graad van de teller ook lager is dan de graad van de noemer):
DUS er bestaan getallen (a,b,c,d...) zdd:
-4/(x⁴-1)= a/(x-1) + b/(x+1) + (cx+d)/(x²+1)
links en rechts vermenigvuldigen met (x⁴-1) geeft: -4 = a·(x+1)·(x²+1) + b·(x-1)·(x²+1) + (cx+d)·(x-1)·(x+1)
= -4 = a·(x³+x²+x+1) + b·(x³-x²+x-1) + (cx+d)·(x²-1)
= -4 = x³·(a+b+c) + x²·(a-b+d) + x·(a+b-c) + (a-b-d)

hieruit volgt:
1: a+b+c=0 (coefficient x³)
2: a-b+d=0 (coefficient x²)
3: a+b-c=0 (coefficient x)
4: a-b-d=-4 (coefficient 'eenheden')
en oplossen van dit stelsel geeft: a=-1, b=1, c=0, d=2
dus: -4 = -1·(x³+x²+x+1) + 1·(x³-x²+x-1) + 2·(x²-1)

als we nu alle resultaten samenvoegen krijgen we:
(x⁴-5)/(x⁴-1) = 1 - 4/(x⁴-1) = 1 - 1/(x-1) + 1/(x+1) + 2/(x²+1)

duidelijk?

MvdH
7-5-2003