WisFaq!

Een formule voor alle mogelijkheden

Ik heb de volgende opgave :
a³+ b⁴ = c⁵
met a³= b⁴

Je moet a, b en c vinden..
Ik heb één oplossing : a=2⁸; b = 2⁶; c = 2⁵
Ik zou graag een bepaalde formule of bewijs hebben voor alle mogelijkheden..
Met vriendelijke groeten,

Jon
7-5-2003

Antwoord

We veronderstellen voor het gemak dat a,b en c positief zijn. Negatieve getallen gaan geen extra problemen brengen, denk ik.

Als a³=b⁴ dan komt er dat 2a³ = c⁵. Ontbind nu a en c in priemfactoren

a = p₁^x₁ ... p_n^x_n
c = p₁^y₁ ... p_n^y_n

Dan is

2 p₁^3x₁ ... p_n^3x_n = p₁^5y₁ ... p_n^5y_n

2 moet duidelijk een van de priemfactoren zijn anders zou het linkse lid even zijn en het rechtse niet. Stel dus p₁=2.

2^3x₁+1 ... p_n^3x_n = 2^5y₁ ... p_n^5y_n

We zoeken dus getallen x_j en y_j waarvoor

3x₁ + 1 = 5y₁
3x_j = 5y_j, j > 1

Modulorekening leert ons dan dat er getallen z_j bestaan zodat

x₁ = 5z₁ + 3
x_j = 5z_j, j > 1

a is dus van de vorm 8m⁵, c is van de vorm 4m³, waarin m een willekeurig natuurlijk getal voorstelt.

Nu komt nog de vereiste dat er een natuurlijk getal b moet bestaan waarvoor b⁴=a³. Met andere woorden, 2⁹m¹⁵ moet een vierdemacht zijn. Dan moet m zeker even zijn (m=2^tr, r oneven), want 9 is geen veelvoud van 4.

a³ = 2^9+15tr¹⁵

r moet dan een vierdemacht zijn (van een oneven getal 2s+1, want r is zelf oneven) en t moet bij deling door 4 rest 1 geven, dus van de vorm 4v+1 zijn, om van 9+15t een viervoud te maken.

a³ = 2^9+15(4v+1).((2s+1)⁴)¹⁵
a³ = 2^60v+24.(2s+1)⁶⁰

Conclusie:

a = 2^8+20v.(2s+1)²⁰
b = 2^6+15v.(2s+1)¹⁵
c = 2^5+12v.(2s+1)¹²

met

s,v>=0

Enkele oplossingen:

s=0 v=0
a=256
b=64
c=32

s=0 v=1
a=268435456
b=2097152
c=131072

s=1 v=0
a=892616806656
b=918330048
c=17006112

cl
10-5-2003