WisFaq!

Re: Samengestelde experimenten

Is er geen andere methode , want dergelijke oplossingsmethode hebben wij nog niet gezien. Enkel formule van laplace en boole en dergelijke onder het hoofdstuk kanswetten.

koen
2-5-2003

Antwoord

Je hebt waarschijnlijk geen problemen met P(X)=1/4=p en P(niet X)=3/4=1-p.

Stellen we "niet X" voor door een minnetje dan zijn enkele mogelijke uitkomsten

XX-XX
X----
XXXXX
--XXX

De kans dat die bepaalde uitkomst optreedt is het produkt van de afzonderlijke kansen (als die uitkomsten onafhankelijk zijn tenminste, en dat mogen we wel veronderstellen in dit geval: Lokeren zal zich niet laten verliezen omdat Charleroi gelijk heeft gespeeld enzovoort...)

P(XX-XX) = p.p.(1-p).p.p
P(X----) = p.(1-p).(1-p).(1-p).(1-p)
P(XXXXX) = p.p.p.p.p
P(--XXX) = (1-p).(1-p).p.p.p

Je ziet nu zelf wel in dat bij de berekening van de kans van een specifieke uitkomst de volgorde van de afzonderlijke wedstrijden niet van belang is. Zo is bijvoorbeeld P(XXX--)=P(XX--X)=P(X--XX). Die kansen worden dus enkel bepaald door het aantal "X"en en "-"en.

P(om het even wat met 3 "X"-en en 2 "-"-en) = p³(1-p)²

Nu wordt er niet gevraagd wat de kans is van een of andere specifieke uitkomst. Er wordt gevraagd naar de kans P van een hele verzameling uitkomsten, namelijk alle uitkomsten waar 3 X'en instaan.

P = P(XXX--)+P(XX--X)+P(XX-X-)+P(--XXX)+P(-XXX-)+...

Dat we die kansen mogen optellen volgt uit het feit dat die gebeurtenissen mekaar uitsluiten. Als de uitkomst "XXX--" is, kan ze niet "XX--X" zijn, dus er is geen gevaar dat we een of andere situatie 2 keer zouden tellen. In dit probleem is dat vrij duidelijk, maar in meer theoretische vraagstukken stel je jezelf best vaak de vraag of wat je doet gerechtvaardigd is.

Alle uitkomsten in de bovenstaande som hebben hetzelfde aantal "X"-en, dus ze komen voor met dezelfde kans, zoals we in het begin hadden afgeleid. Rest ons alleen nog de vraag hoeveel termen (noem dat aantal t) er precies in die som staan. Eens we dat weten, kunnen we zeggen dat

P = t · P(XXX--)

En op hoeveel manieren kan je uit 5 plaatsen er 3 kiezen waar de "X"-en moeten staan? Op (5,3)=10 manieren!

P = 10.P(XXX--) = 10.p³(1-p)² = 45/512

Als je die redenering nu herhaalt voor een algemeen aantal wedstrijden en een algemeen aantal "X"-en, dan bekom je de formule die ik in het vorige bericht al had gegeven. Niks nieuws dus!

cl
2-5-2003