WisFaq!

Afgeleide arctan(x)

Hallo,

In de lesstof wordt afgeleid:
f(x)=arctan(x).

De afgeleide is dan f'(x)=cos²(x)=1/(1+tan²(x))=1/(1+x²). Hoe komt men in de laatste term nu aan x².

Mvg,

George van Klaveren
2-5-2003

Antwoord

De truc is dit:

er geldt altijd dat arctan(tanx)=x
dus ook dat [arctan(tanx)]'=[x]'
ofwel d(arctan(tanx))/dx = 1 $\Leftrightarrow$
(nu de kettingregel toepassen om het linkerlid uit te schrijven)
d(arctan(tanx))/dtanx · dtanx/dx = 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx · (1/cos²x)= 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx · (sin²x+cos²x)/cos²x = 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx · (1 + tan²x) = 1 $\Leftrightarrow$
d(arctan(tanx))/dtanx = 1/(1+tan²x)

Kijk nu goed: de variabele is hier overal tanx.
Immers:
· het argument van arctan wordt tanx genoemd;
· er wordt gedifferentieerd naar tanx;
· en de uitkomst is een functie van tanx.
Maar dan mogen we net zo goed de tanx overal door x vervangen.
Zo krijg je:
d(arctan(x))/dx = 1/(1+x²)

groeten,
martijn

mg
2-5-2003