WisFaq!

Integralen berekenen

Ik heb eigenlijk 2 vragen:

1) Bereken de integraal van een cirkel met straal 5. De vergelijking van de cirkel is y²=r²-x²µ
bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door omwenteling om de x-as van het vlakdeel begransd door de grafieken van y=2Öx en y= 1/4 x²

Integralen op zijn eigen berekenen lukt me wel maar dit in de goede vorm gieten lukt me totaal niet. Gewoon ff op weg zetten is genoeg dan weet ik hoe ik verder moet maar die eerste stap zie ik niet :-)

christiane
29-4-2003

Antwoord

Hoi Christianne,

Is die m wel de bedoeling? De vergelijking van een cirkel met straal 5 is namelijk y²=5²-x². Als je x² met m vermenigvuldigd, dan wordt de grafiek namelijk een ellips (tenzij m=1) en geen cirkel.

Als je zegt "de integraal van een cirkel met straal 5" neem ik aan dat je bedoelt de oppervlakte tussen de grafiek van de cirkel en de x-as, dus de integraal van -5 tot 5. Het antwoord hierop is eenvoudig: De cirkel is symmetrisch tov de x-as, en er ligt dus evenveel (negatief) oppervlak onder de x-as als (positief) oppervlak onder de x-as. Deze heffen elkaar op, en de uitkomst is nul. Dit kun je ook zien in formulevorm:
y²=5²-x², dus y=±Ö(5²-x²), dus bij het integreren moet je de positieve en negatieve versie optellen:



Trouwens, ook al is het een ellips, de uitkomst blijft nul.

Ik kan je bij je tweede vraag een paar hints geven. Bereken eerst in ieder geval de snijpunten van de twee functies, maar dat had je waarschijnlijk al gedaan. Nu kun je de inhoud van het omwentelingslichaam van de 'bovenste' grafiek uitrekenen (herinnering: inhoud omwentelingslichaam bereken je met òpy² dx) en daar de inhoud van het omwentelingslichaam van de 'onderste grafiek van afhalen. Dan krijg je de inhoud van het omwentelingslichaam tussen de twee grafieken.

Ik hoop dat je hier wat aan hebt,

groet,

Casper

cz
29-4-2003