WisFaq!

De ontwikkeling van een goniometrische functie in een machtsreeks

Hallo,

Er wordt ontwikkeld de functie f(x)=e^x.sin(x) in een machtsreeks rondom het punt x=0. Wat wordt hier nu precies bedoeld en wat wordt er gedaan. De oplossing is g(x)=x+x²+1/3x³-1/30x⁵+O(x⁶).

Met vriendelijke groet,
George van Klaveren

George van Klaveren
29-4-2003

Antwoord

Wanneer je een functie door een machtreeks wilt benaderen, komt het erop neer dat je begint met een functie f(x)
(in jouw geval dus f(x)=e^xsinx ) en die ga je schrijven in de vorm
a + b.x + c.x² + d.x³ + e.x⁴ + ....

Het grote 'probleem' is dus om de waarden van a, b, c, ... te vinden.

Dit noemen ze een reeks. Een Taylor-reeks.
De Taylor-reeks wordt gegeven door:
f(x)= f(0) + x.f'(0)/1! + x².f"(0)/2! + x³.f"'(0)/3! + ... + xⁿ.f⁽ⁿ⁾(0)/n!
De reeks benadert de werkelijke functie steeds beter naarmate n naar oneindig gaat.
Nu even terugkomend op jouw functie:
f(0)=0, ...da's makkelijk
Nu f'(0) uitrekenen. Moeten we wel eerst f'(x) weten.
f'(x)=e^xsinx + e^xcosx
dus f'(0)=1
voorts is 1!=1, dus het eerste stuk van je Taylor expansie ziet eruit als 0+1.x/1 ofwel x

Nu f"(0) uitrekenen. Moeten we wel eerst f"(x) weten.
f"(x)=e^xsinx + e^xcosx + e^xcosx - e^xsinx = 2e^xcosx
dus f"(0)=2
verder is 2!=2 dus je Taylor expansie ziet er tot nu toe uit als x + x²

Zo moet je zelf verder door f"'(0), f""(0) enz.. uit te rekenen. En in de formule te stoppen.

De hierboven gegeven Taylorreeks is een Taylorreeks met ontwikkeling rond x=0. Dat is een essentieel gegeven.
Namelijk: VLAKBIJ x=0 is de beste benadering van je functie natuurlijk f(0) zelf. Ga je echter een beetje verder van x=0 afzitten, dan gaat de werkelijke functie f(x) i.h.a. een andere koers varen, terwijl je met je benadering nog op f(0) zat.
Daarom moet de benaderingsfunctie (de Taylorreeks dus) OOK bijgestuurd worden.
De beste benadering daarvoor is om vlakbij x=0 de helling te volgen van de grafiek.
De helling van de functie f(x) ter plekke x=0 is gelijk aan f'(0).
Dus om de functie beter te benaderen moet je bij f(0) ook
x.f'(0) optellen.
hogere orde termen benaderen de functie f steeds beter,

etc

groeten,
martijn

mg
29-4-2003