WisFaq!

Re: Leibniz productregel

Ja precies, sorry ik heb de vraag verkeerd geformuleerd. Hoe heeft Leibniz de productregel bewezen?
Alweer alvast bedankt!

Josephine Stutterheim
16-4-2003

Antwoord

Uitgangspunt is het volgende: de afgeleide functie ontstaat uit het zogenaamde differentiequotiënt [f(x + h) - f(x)]/h door h steeds kleiner te nemen. In de leerboeken van tegenwoordig wordt vaak met een waarde van 0,01 gewerkt.
Kijk nu eens naar het product van twee functies f en g, en laten we dat product p noemen. Kortom: p(x) = f(x).g(x).

Het differentiequotiënt van p is nu [p(x + h) - p(x)]/h. Als we p vervangen door f.g wordt dit het volgende:

[f(x+h).g(x+h) - f(x).(g(x)]/h

Nu wordt er met de teller een onschuldig trucje uithaald:

[f(x+h).g(x+h) - f(x).g(x+h) + f(x).g(x+h) - f(x).g(x)]/h

Als je goed kijkt wat er gebeurd is, dan zie je dat er eerst iets wordt afgehaald en meteen weer wordt bijgeteld.
De bedoeling van deze ingreep is dat je de eerste twee termen en de laatste twee termen van de teller ontbindt.
Je krijgt:

g(x+h).[f(x+h)-f(x)]/h + f(x).[g(x+h)-g(x)]/h

Tussen de vierkante haken zijn nu precies de aanzetten van de differentiequotiënten van f en g ontstaan.
Als je nu h steeds kleiner laat worden, dan worden die stukken tussen de vierkante haken, sámen met de noemer h precies f'(x) en g'(x) (zie de start van dit verhaal) en g(x+h) (waarmee de laatste vorm begint) wordt gewoon g(x). Al met al staat er nu dus:

p'(x) = g(x).f'(x) + g'(x).f(x) en dat is de productregel.

Je ziet: het is vooral een technisch getint bewijs met vooral die ingenieuze truc halverwege.

MBL
16-4-2003