Definitie
Gegeven de polynomen van graad n en m:
$
\eqalign{
& p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_1 x + a_0 \,\,en \cr
& q(x) = b_m x^m + b_{m - 1} x^{m - 1} + ... + b_1 x + b_0 \,\,\,(a_n \ne 0\,\,en\,\,b_m \ne 0) \cr}
$
Dan heet $\eqalign{
f:x \to \frac{{p(x)}}
{{q(x)}}}
$ een rationale functie.
$f$ is gedefinieerd in alle $x$ waar $q(x)\ne0$. Polynomen noemt men ook wel gehele rationale functies.
Het primitiveren van polynomen is geen probleem.
$
\int {\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k } } \right)} \,dx = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{a_k }}
{{k + 1}}x^{k + 1} + K}
$
Er is ook een methode om de primitieve te bepalen van een willekeurige rationale functie. Hierbij schrijf je f als een lineaire combinatie van 'elementaire' rationale functies waarvan men de primitieven kent. Dit heet Breuksplitsen.
Voorbeeld 1
$
\eqalign{
& \int\limits_0^{e - 1} {\frac{{x - 1}}
{{x + 1}}} \,dx = \cr
& \int\limits_0^{e - 1} {\frac{{x + 1 - 2}}
{{x + 1}}} \,dx = \cr
& \int\limits_0^{e - 1} {1 - \frac{2}
{{x + 1}}} \,dx = \cr
& \left[ {x - 2\ln \left( {x + 1} \right)} \right]_0^{e - 1} = \cr
& e - 1 - 2\ln \left( {e - 1 + 1} \right) = \cr
& e - 3 \cr}
$
Voorbeeld 2
$
\eqalign{
& Gevraagd:\int {\frac{{x^3 }}
{{x + 1}}dx} \cr
& x + 1/x^3 \backslash x^2 - x + 1 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {\,\,x^3 + x^2 } \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x^2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline { - x^2 - x} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {x + 1} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \cr
& \frac{{x^3 }}
{{x + 1}} = x^2 - x + 1 - \frac{1}
{{x + 1}} \cr
& \int {\frac{{x^3 }}
{{x + 1}}dx = \int {x^2 - x + 1 - \frac{1}
{{x + 1}}} } \,dx = \frac{1}
{3}x^3 - \frac{1}
{2}x^2 + x - \ln \left( {x + 1} \right) \cr}
$
