Definitie
$
\eqalign{
& De{\text{ }}afgeleide{\text{ }}f'(x){\text{ }}wordt{\text{ }}gedefinieerd{\text{ }}als: \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}
{{\Delta x}} \cr}
$
Voorbeeld
$
\eqalign{
& f:y = x^2 - 4x + 4 \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {x + \Delta x} \right)^2 - 4\left( {x + \Delta x} \right) + 4 - \left( {x^2 - 4x + 4} \right)}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{x^2 + 2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4x - 4 \cdot \Delta x + 4 - x^2 + 4x - 4}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4 \cdot \Delta x}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 2 \cdot x + \Delta x - 4 = \cr
& f'(x) = 2x - 4 \cr}
$
Vooral in het laatste stukje zit een 'aardige' wending. Omdat $\Delta$x niet nul is kan je in de teller en noemer deze factor wegdelen. In de stap daarna zeg je dan dat $\Delta$x nadert naar nul, dus kunnen we deze term weglaten.
De afgeleide of hellingsfunctie (in dit voorbeeld f'(x)=2x-4) geeft voor elk waarde van 'x' de helling in het punt (x,f(x)) van de functie f.
Rekenregels
Voor het bepalen van de afgeleide is het niet nodig om steeds deze limiet op deze manier te bepalen. Voor het bepalen van de afgeleide of hellingfunctie gebruiken we een aantal rekenregels. Deze worden op de volgende pagina besproken.
