WisFaq!

To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.

jsMath

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

\require{AMSmath}

Een familie van functies

Opgave

Gegeven zijn de functies f_c(x)=x³+3cx.

Voor welke waarden van c heeft de grafiek van zo'n functie drie nulpunten?
Voor welke waarde van c heeft f_c een extremum van 4?
Voor welke waarden van c raakt de grafiek van f_c de lijn y=6x?
Voor welke waarden van c heeft de lijn met vergelijking y=x precies één punt met de grafiek van f_c gemeen?

Uitwerking

Stel f(x)=0

\begin{array}{l} x^3 + 3cx = 0 \\ x(x^2 + 3c) = 0 \\ x = 0 \vee x^2 + 3c = 0 \\ x = 0 \vee x^2 = - 3c \\ x = 0 \vee x = - \sqrt { - 3c} \vee x = \sqrt { - 3c} \\ \end{array}
De wortel van -3c bestaat alleen als -3c\ge0, dus c\le0. In het geval dat c=0 heb je dan maar 2 oplossingen. Als c<0 dan heb je drie oplossingen.

Bepaal de afgeleide.

\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} f'_c (x) = 3x^2 + 3c \\ f'_c (x) = 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \\ 3x^2 + 3c = 0 \\ 3x^2 = - 3c \\ x^2 = - c \\ x = - \sqrt { - c} \vee x = \sqrt { - c} \\ f( - \sqrt { - c} ) = 2\sqrt { - c^3 } \,\,en\,\,f(\sqrt { - c} ) = - 2\sqrt { - c^3 } \\ 2\sqrt { - c^3 } = 4 \\ c = - \sqrt[3]{4} \\ \end{array}

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 6. De afgeleide is dus 6.

\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} f'_c (x) = 3x^2 + 3c \\ f'_c (x) = 6 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \\ 3x^2 + 3c = 6 \\ x = - \sqrt {2 - c} \vee x = \sqrt {2 - c} \\ \end{array}
Maar 't is een raaklijn dus één oplossing als c=2.

Als je y=x^{3}+3cx snijdt met y=x dan krijg je:
x^3 + 3cx = x
Oplossen geeft:
x = 0 \vee x = - \sqrt {1 - 3c} \vee x = \sqrt {1 - 3c}
Je hebt dan 1 oplossing voor 1-3c<0 oftewel: c>\frac{1}{3}