WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een familie van functies

Opgave

Gegeven zijn de functies f_c(x)=x³+3cx.

Voor welke waarden van c heeft de grafiek van zo'n functie drie nulpunten?
Voor welke waarde van c heeft f_c een extremum van 4?
Voor welke waarden van c raakt de grafiek van f_c de lijn y=6x?
Voor welke waarden van c heeft de lijn met vergelijking y=x precies één punt met de grafiek van f_c gemeen?

Uitwerking

Stel f(x)=0

$
\begin{array}{l}
x^3 + 3cx = 0 \\
x(x^2 + 3c) = 0 \\
x = 0 \vee x^2 + 3c = 0 \\
x = 0 \vee x^2 = - 3c \\
x = 0 \vee x = - \sqrt { - 3c} \vee x = \sqrt { - 3c} \\
\end{array}
$
De wortel van -3c bestaat alleen als -3c$\ge$0, dus c$\le$0. In het geval dat c=0 heb je dan maar 2 oplossingen. Als c$<$0 dan heb je drie oplossingen.
$ $
Bepaal de afgeleide.

$
\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
f'_c (x) = 3x^2 + 3c \\
f'_c (x) = 0 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \\
3x^2 + 3c = 0 \\
3x^2 = - 3c \\
x^2 = - c \\
x = - \sqrt { - c} \vee x = \sqrt { - c} \\
f( - \sqrt { - c} ) = 2\sqrt { - c^3 } \,\,en\,\,f(\sqrt { - c} ) = - 2\sqrt { - c^3 } \\
2\sqrt { - c^3 } = 4 \\
c = - \sqrt[3]{4} \\
\end{array}
$
$ $
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 6. De afgeleide is dus 6.

$
\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
f'_c (x) = 3x^2 + 3c \\
f'_c (x) = 6 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \\
3x^2 + 3c = 6 \\
x = - \sqrt {2 - c} \vee x = \sqrt {2 - c} \\
\end{array}
$
Maar 't is een raaklijn dus één oplossing als c=2.
$ $
Als je $y=x^{3}+3cx$ snijdt met $y=x$ dan krijg je:
$
x^3 + 3cx = x
$
Oplossen geeft:
$
x = 0 \vee x = - \sqrt {1 - 3c} \vee x = \sqrt {1 - 3c}
$
Je hebt dan 1 oplossing voor $1-3c<0$ oftewel: $c>\frac{1}{3}$