B. Booglengte

De booglengte van een differentieerbare functie f van x=a tot x=b is gelijk aan:

L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'(x)} \right)^2 } } dx

Opgave

Bereken de booglengte van de lus van de kromme met als vergelijking:

9y^2  = x(3 - x)^2

Uitwerking

\eqalign{   & 9y^2  = x(3 - x)^2   \cr   & y^2  = \frac{1} {9}x(3 - x)^2   \cr   & y = \frac{1} {3}(3 - x)\sqrt x  \vee y =  - \frac{1} {3}(3 - x)\sqrt x   \cr   & ...  \cr   & y' = \frac{{1 - x}} {{2\sqrt x }}  \cr   & L = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + \left( {\frac{{1 - x}} {{2\sqrt x }}} \right)^2 } } dx  \cr   & L = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + \frac{{(x - 1)^2 }} {{4x}}} } \,\,dx  \cr   & L = \int\limits_0^3 {\sqrt {\frac{{(x + 1)^2 }} {{4x}}\,\,} } dx  \cr   & L = \int\limits_0^3 {\frac{{x + 1}} {{2\sqrt x }}} \,\,dx  \cr   & L = \left[ {\frac{1} {3}\left( {x + 3} \right)\sqrt x } \right]_0^3   \cr   & L = 2\sqrt 3  \cr}

"Het is niet nodig de negatieve wortel ook te integreren vermits de lus symmetrisch is t.o.v. de x-as. Je moet het resultaat vermenigvuldigen met twee om de lenge van de volledige lus te krijgen."

De lengte van de lus is 4\sqrt 3

Terug Home