De booglengte van een differentieerbare functie $f$ van $x=a$ tot $x=b$ is gelijk aan:
$
L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'(x)} \right)^2 } } dx
$
Opgave
Bereken de booglengte van de lus van de kromme met als vergelijking:
$
9y^2 = x(3 - x)^2
$
Uitwerking
$
\eqalign{
& 9y^2 = x(3 - x)^2 \cr
& y^2 = \frac{1}
{9}x(3 - x)^2 \cr
& y = \frac{1}
{3}(3 - x)\sqrt x \vee y = - \frac{1}
{3}(3 - x)\sqrt x \cr
& ... \cr
& y' = \frac{{1 - x}}
{{2\sqrt x }} \cr
& L = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + \left( {\frac{{1 - x}}
{{2\sqrt x }}} \right)^2 } } dx \cr
& L = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + \frac{{(x - 1)^2 }}
{{4x}}} } \,\,dx \cr
& L = \int\limits_0^3 {\sqrt {\frac{{(x + 1)^2 }}
{{4x}}\,\,} } dx \cr
& L = \int\limits_0^3 {\frac{{x + 1}}
{{2\sqrt x }}} \,\,dx \cr
& L = \left[ {\frac{1}
{3}\left( {x + 3} \right)\sqrt x } \right]_0^3 \cr
& L = 2\sqrt 3 \cr}
$
"Het is niet nodig de negatieve wortel ook te integreren vermits de lus symmetrisch is t.o.v. de x-as. Je moet het resultaat vermenigvuldigen met twee om de lenge van de volledige lus te krijgen."
De lengte van de lus is $
4\sqrt 3
$