Opgave 1
I.
Los op: $
px^2 + 2px + 3 = 0
$
Er geldt: $
D > 0
$
$
\eqalign{
& px^2 + 2px + 3 = 0 \cr
& D > 0 \cr
& (2p)^2 - 4 \cdot p \cdot 3 > 0 \cr
& 4p^2 - 12p > 0 \cr
& p^2 - 3p > 0 \cr
& p(p - 3) > 0 \cr
& p < 0 \vee p > 3 \cr}
$
II.
$
\eqalign{
& D = \left( {2p} \right)^2 - 4 \cdot p \cdot 3 < 0 \cr
& 4p^2 - 12 < 0 \cr
& p^2 - 3p < 0 \cr
& p(p - 3) < 0 \cr
& 0 < p < 3 \cr}
$
Als $p<0$ moet zijn dan is er 1(inderdaad) geen waarde voor $p$ zodat $f_p$ een negatief maximum heeft.
Bereken de sijpunten van de grafiek met de $x$-as.
$\eqalign{ & x^2 + 2px - 1 = 0 \cr & D = \left( {2p} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1 = 4p^2 + 4 \cr & {\text{Er}}\,\,\,{\text{geldt}}:D > 0 \cr & 4p^2 + 4 > 0 \cr & p \in R \cr}$
Voor alle waarden van $p$ heeft de grafiek twee snijpunten met de $x$-as
Bereken de snijpunten:
$4x^2+4x-3=-4x+b$
$4x^2+8x-3-b=0$
Voor het verkrijgen van een of meerdere snijpunten moet de discriminant groter of gelijk aan nul zijn.
$D=8^2-4·4·(-3-b)=16b+112$
Voor $D\geq0$ krijgt je $16b+112\geq0$
$b\geq-7$
$
\eqalign{
& x^2 + (p - 2)x - p + 4 = 0 \cr
& D = \left( {p - 2} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot ( - p + 4) \cr
& D = p^2 - 12 \cr
& {\text{Er}}\,\,\,{\text{geldt}}:D = 0 \cr
& p^2 - 12 = 0 \cr
& p^2 = 12 \cr
& p = - \sqrt {12} \vee p = \sqrt {12} \cr
& p = - 2\sqrt 3 \vee p = 2\sqrt 2 \cr}
$
Bereken $x_{top}$ met $x_{top}=-\frac{b}{2a}$. Dat geeft:
$x_{top}=-\frac{12}{6}=-2$
Bereken $f(-2)$. Dat geeft $y_{top}=-12+p$. Dan volgt:
$-12+p=8$
$p=20$