2. Kwadraatafsplitsen
Het idee van kwadraatafsplitsen is dat je het linker deel van een vergelijking als x2+8x-12=0 probeert te schrijven als een kwadraat.Een willekeurige drieterm schrijven als een kwadraat kan niet (altijd), want
het zou toch wel heel toevallig zijn als x2+8x-12 precies het
kwadraat zou zijn van een tweeterm.
Maar, we doen dan toch! Als je kijkt
naar kwadraten van tweetermen, dan valt er toch iets
op:
(x+1)2=x2+2x+1
(x+2)2=x2+4x+4
(x+3)2=x2+6x+9
Enz...
Algemeen:
(x+a)2=x2+2ax+a2
Het
blijkt dat een kwadraat steeds bestaat uit een term met x2, het
dubbelprodukt (van x en a) en a2. Deze 'wetenschap' kunnen we
gebruiken om elke willekeurige drieterm te schrijven als een kwadraat (nou ja
bijna dan!).
Voorbeeld
Als ik x2+8x-12 wil
schrijven als een kwadraat zal het vanwege het dubbelprodukt 8x iets moeten
worden als (x+4)2.
Maar (x+4)2=x2+8x+16 en
dat lijkt wel op x2+8x-12 maar toch niet helemaal. Wat je dan doet is
het achteraf 'goed praten', want als ik x2+8x-12 schrijf als
(x+4)2-28 dan klopt het namelijk wel precies, kijk
maar:
(x+4)2-28=x2+8x+16-28=x2+8x-12
Oplossen
x2+8x-12=0
(x+4)2-16-12=0
(x+4)2-28=0
(x+4)2=28
x+4=-
28 of x+4=28
x=-4-28 of
x=-4+28
(x=-4-27 of x=-4+27)