©2012 WisFaq

4. Primitiveren van rationale functies

Definitie

Gegeven de polynomen van graad n en m:

$
\eqalign{
  & p(x) = a_n x^n  + a_{n - 1} x^{n - 1}  + ... + a_1 x + a_0 \,\,en  \cr
  & q(x) = b_m x^m  + b_{m - 1} x^{m - 1}  + ... + b_1 x + b_0 \,\,\,(a_n  \ne 0\,\,en\,\,b_m  \ne 0) \cr}
$

Dan heet $\eqalign{
f:x \to \frac{{p(x)}}
{{q(x)}}}
$ een rationale functie.

$f$ is gedefinieerd in alle $x$ waar $q(x)\ne0$. Polynomen noemt men ook wel gehele rationale functies.

Het primitiveren van polynomen is geen probleem.

$
\int {\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k } } \right)} \,dx = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{a_k }}
{{k + 1}}x^{k + 1}  + K}
$

Er is ook een methode om de primitieve te bepalen van een willekeurige rationale functie. Hierbij schrijf je f als een lineaire combinatie van 'elementaire' rationale functies waarvan men de primitieven kent. Dit heet Breuksplitsen.

• Zie Breuksplitsen

Voorbeeld 1

$
\eqalign{
  & \int\limits_0^{e - 1} {\frac{{x - 1}}
{{x + 1}}} \,dx =   \cr
  & \int\limits_0^{e - 1} {\frac{{x + 1 - 2}}
{{x + 1}}} \,dx =   \cr
  & \int\limits_0^{e - 1} {1 - \frac{2}
{{x + 1}}} \,dx =   \cr
  & \left[ {x - 2\ln \left( {x + 1} \right)} \right]_0^{e - 1}  =   \cr
  & e - 1 - 2\ln \left( {e - 1 + 1} \right) =   \cr
  & e - 3 \cr}
$

Voorbeeld 2

$
\eqalign{
  & Gevraagd:\int {\frac{{x^3 }}
{{x + 1}}dx}   \cr
  & x + 1/x^3 \backslash x^2  - x + 1  \cr
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {\,\,x^3  + x^2 }   \cr
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x^2   \cr
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline { - x^2  - x}   \cr
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x  \cr
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {x + 1}   \cr
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1  \cr
  & \frac{{x^3 }}
{{x + 1}} = x^2  - x + 1 - \frac{1}
{{x + 1}}  \cr
  & \int {\frac{{x^3 }}
{{x + 1}}dx = \int {x^2  - x + 1 - \frac{1}
{{x + 1}}} } \,dx = \frac{1}
{3}x^3  - \frac{1}
{2}x^2  + x - \ln \left( {x + 1} \right) \cr}
$

• Volgende

Terug Home