4. De afgeleide
Definitie
$
\eqalign{
& De{\text{ }}afgeleide{\text{ }}f'(x){\text{ }}wordt{\text{ }}gedefinieerd{\text{ }}als: \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}
{{\Delta x}} \cr}
$
Voorbeeld
$
\eqalign{
& f:y = x^2 - 4x + 4 \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {x + \Delta x} \right)^2 - 4\left( {x + \Delta x} \right) + 4 - \left( {x^2 - 4x + 4} \right)}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{x^2 + 2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4x - 4 \cdot \Delta x + 4 - x^2 + 4x - 4}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4 \cdot \Delta x}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 2 \cdot x + \Delta x - 4 = \cr
& f'(x) = 2x - 4 \cr}
$
Vooral in het laatste stukje zit een 'aardige' wending. Omdat $\Delta$x niet nul is kan je in de teller en noemer deze factor wegdelen. In de stap daarna zeg je dan dat $\Delta$x nadert naar nul, dus kunnen we deze term weglaten.
De afgeleide of hellingsfunctie (in dit voorbeeld f'(x)=2x-4) geeft voor elk waarde van 'x' de helling in het punt (x,f(x)) van de functie f.
- Zie ook Wat heb je aan de afgeleide?