4. De afgeleide
Definitie
\eqalign{ & De{\text{ }}afgeleide{\text{ }}f'(x){\text{ }}wordt{\text{ }}gedefinieerd{\text{ }}als: \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}} {{\Delta x}} \cr}
Voorbeeld
\eqalign{ & f:y = x^2 - 4x + 4 \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}} {{\Delta x}} = \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {x + \Delta x} \right)^2 - 4\left( {x + \Delta x} \right) + 4 - \left( {x^2 - 4x + 4} \right)}} {{\Delta x}} = \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{x^2 + 2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4x - 4 \cdot \Delta x + 4 - x^2 + 4x - 4}} {{\Delta x}} = \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4 \cdot \Delta x}} {{\Delta x}} = \cr & f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 2 \cdot x + \Delta x - 4 = \cr & f'(x) = 2x - 4 \cr}
Vooral in het laatste stukje zit een 'aardige' wending. Omdat \Deltax niet nul is kan je in de teller en noemer deze factor wegdelen. In de stap daarna zeg je dan dat \Deltax nadert naar nul, dus kunnen we deze term weglaten.
De afgeleide of hellingsfunctie (in dit voorbeeld f'(x)=2x-4) geeft voor elk waarde van 'x' de helling in het punt (x,f(x)) van de functie f.
- Zie ook Wat heb je aan de afgeleide?