4. Quasi-symmetrische vergelijkingen
Een quasi-symmetrische vierdegraadsvergelijking heeft deze vorm:
$
ax^4 + bx^3 + cx^2 + bmx + am^2 = 0
$
Aanpak
- deel door $x^2$
- stap over op $\eqalign{z = x + \frac{m}{x}}$
Voorbeeld
Los op: $
x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
$
Uitwerking
$
\eqalign{
& x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 \cr
& x^2 - 2x + 3 - \frac{2}
{x} + \frac{1}
{{x^2 }} = 0 \cr
& x^2 + \frac{1}
{{x^2 }} - 2x - \frac{2}
{x} + 3 = 0 \cr
& x^2 + \frac{1}
{{x^2 }} + 2 - 2\left( {x + \frac{1}
{x}} \right) + 1 = 0 \cr
& \left( {x + \frac{1}
{x}} \right)^2 - 2\left( {x + \frac{1}
{x}} \right) + 1 = 0 \cr
& neem:z = x + \frac{1}
{x} \cr
& z^2 - 2z + 1 = 0 \cr
& z = 1 \cr
& x + \frac{1}
{x} = 1 \cr
& x^2 - x + 1 = 0 \cr
& x = \frac{1}
{2} - \frac{1}
{2}i\sqrt 3 \vee x = \frac{1}
{2} + \frac{1}
{2}i\sqrt 3 \cr}
$
Opgelost...