2. Voor de hand liggende oplossingen
Neem aan dat je de vergelijking $ x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = 0 $ wilt oplossen. De waarde van $d$ is niet nul dus je kunt (helaas) geen $x$ buiten haakjes halen.
- Zijn er snel eenvoudige oplossingen te zien? Is -2, -1, 1 of 2 een oplossing? Zo ja, dan kan je ontbinden.
In dit geval kan je gemakkelijk zien dat $x=1$ een oplossing is. Het ligt voor de hand om met behulp van een staartdeling $x-1$ buiten haakjes te halen. De vergelijking is te schrijven als:
$ \begin{array}{l} x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = 0 \\ (x - 1)(....) = 0 \\ \end{array} $
Je hebt dan al één oplossing. Op de puntjes staat een tweedegraadsvergelijking die je (mogelijkerwijs) op geheel eigen wijze kan oplossen.
Uitwerking
Los op:
$ x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = 0 $.
Uitwerking:
Zo te zien is $x=1$ een oplossing. Dus ik ga de vergelijking schrijven als: $ (x - 1)(....) = 0 $
Een staartdeling maken:
$ \begin{array}{l} x - 1/x^3 - 7x^2 - 10x + 16\backslash x^2 - 6x - 16 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline {x^3 - x^2 } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 6x^2 - 10x - 16 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline { - 6x^2 + 6x} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 16x - 16 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\underline { - 16x - 16} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\ \end{array} $
Dat geeft:
$ \begin{array}{l} x^3 - 7x^2 - 10x - 16 = 0 \\ (x - 1)(x^2 - 6x - 16) = 0 \\ (x - 1)(x + 2)(x - 8) = 0 \\ x = - 2 \vee x = 1 \vee x = 8 \\ \end{array} $
Opgelost...