$
f(x) = \Large\frac{{p(x)}}
{{q(x)}}
$=$
s(x) + \Large\frac{{r(x)}}
{{q(x)}}
$
$
met\,\,de\,\,graad\,\,van\,\,r(x) < de\,\,graad\,\,van\,\,q(x)
$
Voorbeeld
$
f(x) = \Large\frac{{x^4 - 4x^3 - 2x + 2}}
{{x^3 - 3x^2 + 2x}}
$
De graad van de teller is groter dan de graad van de noemer, dus gaan we eerst delen en splitsen:
$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{x^4 - 4x^3 - 2x + 2}}
{{x^3 - 3x^2 + 2x}} \cr
& x^3 - 3x^2 + 2x/x^4 - 4x^3 - 2x + 2\backslash x - 1 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x^4 - 3x^3 + 2x^2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x^3 + - 2x^2 - 2x + 2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x^3 + 3x^2 - 2x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 5x^2 + 2 \cr
& We\,\,\,zien: \cr
& f(x) = \frac{{x^4 - 4x^3 - 2x + 2}}
{{x^3 - 3x^2 + 2x}} = x - 1 + \frac{{ - 5x^2 + 2}}
{{x^3 - 3x^2 + 2x}} \cr}
$
Blijft over het laatste gedeelte te splitsen in breuken. Met behulp van de eerder genoemde rekenregels wordt dat:
$
\Large\frac{{ - 5x^2 + 2}}
{{x^3 - 3x^2 + 2x}} = \frac{{ - 5x^2 + 2}}
{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{A}
{x} + \frac{B}
{{x - 1}} + \frac{C}
{{x - 2}}
$
Met behulp van onderstaande uitdrukking kan je dan de waarde van A, B en C bepalen:
$
A\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + Bx\left( {x - 2} \right) + Cx\left( {x - 1} \right) = - 5x^2 + 2
$
Dit geeft je dan A=1, B=3 en C=-9.