De vergelijking $
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
$ heeft als een oplossing:
$
\eqalign{
& p = \frac{c}
{a} - \frac{{b^2 }}
{{3a^2 }} \cr
& q = \frac{{2b^3 }}
{{27a^3 }} - \frac{{bc}}
{{3a^2 }} + \frac{d}
{a} \cr
& W = \sqrt {q^2 + \frac{4}
{{27}}p^3 } \cr
& x = \root 3 \of {\frac{{ - q + W}}
{2}} + \root 3 \of {\frac{{ - q - W}}
{2}} - \frac{b}
{{3a}} \cr}
$
Voorbeeld
Je wilt de vergelijking $
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
$ oplossen. Met de formule van Cardano krijg je:
$ \eqalign{ & x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \cr & a = 1 \cr & b = - 6 \cr & c = 11 \cr & d = - 6 \cr & p = \frac{{11}} {1} - \frac{{\left( { - 6} \right)^2 }} {{3 \cdot 1^2 }} = - 1 \cr & q = \frac{{2 \cdot \left( { - 6} \right)^3 }} {{27 \cdot 1^3 }} - \frac{{ - 6 \cdot 11}} {{3 \cdot 1^2 }} + \frac{{ - 6}} {1} = 0 \cr & W = \sqrt {0^2 + \frac{4} {{27}} \cdot \left( { - 1} \right)^3 } = \frac{2} {9}i\sqrt 3 \cr & x = \root 3 \of {\frac{{ - 0 + \frac{2} {9}i\sqrt 3 }} {2}} + \root 3 \of {\frac{{ - 0 - \frac{2} {9}i\sqrt 3 }} {2}} - \frac{{ - 6}} {{3 \cdot 1}} = 3 \cr} $
Je hebt dan 1 oplossing te pakken. Met ontbinden kan je dan de (zo mogelijk) andere oplossingen vinden.
Opgelost....
