Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort een recursieve formule van de vorm:
${X_{t + 1}} = a \cdot {X_t} + b$
Als $a$, $b$, $t$ en $X_t$ bekend zijn dan kan je het startbedrag berekenen met:
$\eqalign{{X_0} = {a^{ - t}}\left( {\frac{b}{{a - 1}} + {X_t}} \right) - \frac{b}{{a - 1}}}$
Voorbeeld
Ik kan bij een lening tegen 5% jaarrente elke maand €200 aflossen. Ik wil de lening in 5 jaar terug betalen. Hoeveel kan ik dan lenen?
Uitgewerkt
$X_t=0$, $a=1,05^{\frac{1}{12}}$, $b=-200$ en $t=60$. Invullen geeft:
${X_0} = {\left( {{{1,05}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)^{ - 60}}\left( {\frac{{ - 200}}{{{{1,05}^{\frac{1}{{12}}}} - 1}} + 0} \right) - \frac{{ - 200}}{{{{1,05}^{\frac{1}{{12}}}} - 1}} \approx {\text{10}}{\text{.627}}$
Je kunt ongeveer €10.627 lenen.
Afleiden van de formule
$\eqalign{
& {X_t} = \frac{b}{{1 - a}} + \left( {{X_0} - \frac{b}{{1 - a}}} \right) \cdot {a^t} \cr
& {X_t} = \frac{b}{{1 - a}} + {X_0} \cdot {a^t} - \frac{b}{{1 - a}} \cdot {a^t} \cr
& {X_0} \cdot {a^t} = {X_t} - \frac{b}{{1 - a}} + \frac{b}{{1 - a}} \cdot {a^t} \cr
& {X_0} = {a^{ - t}} \cdot {X_t} - {a^{ - t}} \cdot \frac{b}{{1 - a}} + {a^{ - t}} \cdot \frac{b}{{1 - a}} \cdot {a^t} \cr
& {X_0} = {a^{ - t}}\left( {{X_t} - \frac{b}{{1 - a}}} \right) + \frac{b}{{1 - a}} \cr
& {X_0} = {a^{ - t}}\left( {{X_t} + \frac{b}{{a - 1}}} \right) - \frac{b}{{a - 1}} \cr} $
