Loading jsMath...



Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Het vaste bedrag berekenen

Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort een recursieve formule van de vorm:

{X_{t + 1}} = a \cdot {X_t} + b

Bij gegeven waarden voor a, X_0, X_t en t kan je het vaste bedrag berekenen:

\eqalign{b = \frac{{\left( {1 - a} \right)\left( {{X_0} \cdot {a^t} - {X_t}} \right)}}{{{a^t} - 1}}}

Voorbeeld

Ik wil in 5 jaar 7000 sparen door maandelijks een vast bedrag te storten op een spaarrekening. De rente is 4% per jaar en wordt aan het eind van elk jaar bij geschreven. Hoe groot moet het maandelijks bedrag zijn?

Uitgewerkt

a=1,05^{\frac{1}{12}}, X_0=0, X_t=7000 en t=60. Invullen geeft:

\eqalign{b = \frac{{\left( {1 - {{1,05}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)\left( {0 \cdot {{\left( {{{1,05}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)}^t} - 7000} \right)}}{{{{\left( {{{1,05}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)}^t} - 1}} \approx 103,22}

Het maandelijkse bedrag is ongeveen €103

Afleiden van de formule

\eqalign{   & {X_t} = \frac{b}{{1 - a}} + \left( {{X_0} - \frac{b}{{1 - a}}} \right) \cdot {a^t}  \cr   & {X_t} = \frac{b}{{1 - a}} + {X_0} \cdot {a^t} - \frac{b}{{1 - a}} \cdot {a^t}  \cr   & \frac{b}{{1 - a}} \cdot {a^t} - \frac{b}{{1 - a}} = {X_0} \cdot {a^t} - {X_t}  \cr   & \frac{b}{{1 - a}}\left( {{a^t} - 1} \right) = {X_0} \cdot {a^t} - {X_t}  \cr   & b\left( {{a^t} - 1} \right) = \left( {1 - a} \right)\left( {{X_0} \cdot {a^t} - {X_t}} \right)  \cr   & b = \frac{{\left( {1 - a} \right)\left( {{X_0} \cdot {a^t} - {X_t}} \right)}}{{{a^t} - 1}} \cr}


©2004-2025 WisFaq