Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort een recursieve formule van de vorm:
${X_{t + 1}} = a \cdot {X_t} + b$
Bij gegeven waarden voor $a$, $X_0$, $X_t$ en $t$ kan je het vaste bedrag berekenen:
$\eqalign{b = \frac{{\left( {1 - a} \right)\left( {{X_0} \cdot {a^t} - {X_t}} \right)}}{{{a^t} - 1}}}$
Voorbeeld
Ik wil in 5 jaar 7000 sparen door maandelijks een vast bedrag te storten op een spaarrekening. De rente is 4% per jaar en wordt aan het eind van elk jaar bij geschreven. Hoe groot moet het maandelijks bedrag zijn?
Uitgewerkt
$a=1,05^{\frac{1}{12}}$, $X_0=0$, $X_t=7000$ en $t=60$. Invullen geeft:
$\eqalign{b = \frac{{\left( {1 - {{1,05}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)\left( {0 \cdot {{\left( {{{1,05}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)}^t} - 7000} \right)}}{{{{\left( {{{1,05}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)}^t} - 1}} \approx 103,22}$
Het maandelijkse bedrag is ongeveen €103
Afleiden van de formule
$\eqalign{
& {X_t} = \frac{b}{{1 - a}} + \left( {{X_0} - \frac{b}{{1 - a}}} \right) \cdot {a^t} \cr
& {X_t} = \frac{b}{{1 - a}} + {X_0} \cdot {a^t} - \frac{b}{{1 - a}} \cdot {a^t} \cr
& \frac{b}{{1 - a}} \cdot {a^t} - \frac{b}{{1 - a}} = {X_0} \cdot {a^t} - {X_t} \cr
& \frac{b}{{1 - a}}\left( {{a^t} - 1} \right) = {X_0} \cdot {a^t} - {X_t} \cr
& b\left( {{a^t} - 1} \right) = \left( {1 - a} \right)\left( {{X_0} \cdot {a^t} - {X_t}} \right) \cr
& b = \frac{{\left( {1 - a} \right)\left( {{X_0} \cdot {a^t} - {X_t}} \right)}}{{{a^t} - 1}} \cr} $
