Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort een recursieve formule van de vorm:
${X_{t + 1}} = a \cdot {X_t} + b$
Als $a$, $b$, $X_0$ en $X_t$ bekend zijn dan kan je de looptijd berekenen met:
$\eqalign{t = \frac{{\ln \left( {\Large\frac{{(1-a)\cdot X_t - b }}{{(1-a)\cdot X_0 - b }}} \right)}}{{\ln (a)}} }$
Voorbeeld
Ik leen €100.000 tegen een rente van 6%. Ik kan maandelijks €1.200 aflossen. Wat is dan de looptijd van deze lening?
Uitgewerkt
$X_0=100.000$, $X_t=0$, $a=1,06^{\frac{1}{12}}$ en $b=-1.200$. Invullen geeft:
$\eqalign{t = \frac{{\ln \left( {\Large\frac{{\left( {1 - {{1,06}^{\frac{1}{{12}}}}} \right) \cdot 0 + 1200}}{{\left( {1 - {{1,06}^{\frac{1}{{12}}}}} \right) \cdot 100000 + 1200}}} \right)}}{{\ln \left( {{{1,06}^{\frac{1}{{12}}}}} \right)}} \approx 108}$
Na 108 maanden is de lening afgelost.
Afleiden van de formule
$\eqalign{
& {X_t} = \frac{b}{{1 - a}} + \left( {{X_0} - \frac{b}{{1 - a}}} \right) \cdot {a^t} \cr
& \left( {{X_0} - \frac{b}{{1 - a}}} \right) \cdot {a^t} = {X_t} - \frac{b}{{1 - a}} \cr
& {a^t} = \frac{{{X_t} - \frac{b}{{1 - a}}}}{{{X_0} - \frac{b}{{1 - a}}}} \cr
& {a^t} = \frac{{\left( {1 - a} \right)X{}_t - b}}{{(1 - a){X_0} - b}} \cr
& \ln \left( {{a^t}} \right) = \ln \left( {\frac{{\left( {1 - a} \right)X{}_t - b}}{{(1 - a){X_0} - b}}} \right) \cr
& t = \frac{{\ln \left( {\frac{{\left( {1 - a} \right)X{}_t - b}}{{(1 - a){X_0} - b}}} \right)}}{{\ln (a)}} \cr} $
F.A.Q.
