Gegeven: $
f(x) = \Large\frac{{x^3 + 1}}
{{x^2 + 1}}
$
Gevraagd: bepaal de afgeleide.
Quotientregel
$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{x^3 + 1}}
{{x^2 + 1}} \cr
& f'(x) = \frac{{3x^2 \cdot \left( {x^2 + 1} \right) - \left( {x^3 + 1} \right) \cdot 2x}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} = \frac{{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 - 2x}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} = \frac{{x^4 + 3x^2 - 2x}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} \cr}
$
Dit zou je natuurlijk ook met de productregel kunnen doen, er moet natuurlijk wel hetzelfde uitkomen.
$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{x^3 + 1}}
{{x^2 + 1}} = \left( {x^3 + 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right)^{ - 1} \cr
& f'(x) = 3x^2 \cdot \left( {x^2 + 1} \right)^{ - 1} + \left( {x^3 + 1} \right) \cdot - 1 \cdot \left( {x^2 + 1} \right)^{ - 2} \cdot 2x \cr
& f'(x) = \frac{{3x^2 }}
{{x^2 + 1}} - \frac{{2x\left( {x^3 + 1} \right)}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} \cr
& f'(x) = \frac{{3x^2 \left( {x^2 + 1} \right) - 2x\left( {x^3 + 1} \right)}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} \cr
& f'(x) = \frac{{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 - 2x}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} \cr
& f'(x) = \frac{{x^4 + 3x^2 - 2x}}
{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} \cr}
$
Soms is de productregel handiger
$
\eqalign{
& Als\,\,f(x) = \frac{{g(x)}}
{{h(x)}}\,\,dan: \cr
& f'(x) = \frac{{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}}
{{\left( {h(x)} \right)^2 }} \cr
& f(x) = \frac{1}
{{\sqrt {3x - 2} }}\,\,met\,\,g(x) = 1\,\,en\,\,h(x) = \sqrt {3x - 2} \cr
& Dus:g'(x) = 0\,\,en\,\,h'(x) = \frac{1}
{{2\sqrt {3x - 2} }} \cdot 3 = \frac{3}
{{2\sqrt {3x - 2} }} \cr
& f'(x) = \frac{{0 \cdot \sqrt {3x - 2} - 1 \cdot \frac{3}
{{2\sqrt {3x - 2} }}}}
{{\left( {\sqrt {3x - 2} } \right)^2 }} = \frac{{ - 1 \cdot \frac{3}
{{2\sqrt {3x - 2} }}}}
{{3x - 2}} = \frac{{ - 3}}
{{2\left( {3x - 2} \right)\sqrt {3x - 2} }} \cr}
$
Het kan, het klopt, maar echt handig is het niet. Dit is handiger:
$
\eqalign{
& f(x) = \frac{1}
{{\sqrt {3x - 2} }}\, = \left( {3x - 2} \right)^{ - \frac{1}
{2}} \cr
& f'(x) = - \frac{1}
{2}\left( {3x - 2} \right)^{ - 1\frac{1}
{2}} \cdot 3 = \frac{{ - 3}}
{{2\left( {3x - 2} \right)\sqrt {3x - 2} }} \cr}
$
