B. Booglengte

De booglengte van een differentieerbare functie $f$ van $x=a$ tot $x=b$ is gelijk aan:

$
L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'(x)} \right)^2 } } dx
$

Opgave

Bereken de booglengte van de lus van de kromme met als vergelijking:

$
9y^2  = x(3 - x)^2
$

Uitwerking

$
\eqalign{
  & 9y^2  = x(3 - x)^2   \cr
  & y^2  = \frac{1}
{9}x(3 - x)^2   \cr
  & y = \frac{1}
{3}(3 - x)\sqrt x  \vee y =  - \frac{1}
{3}(3 - x)\sqrt x   \cr
  & ...  \cr
  & y' = \frac{{1 - x}}
{{2\sqrt x }}  \cr
  & L = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + \left( {\frac{{1 - x}}
{{2\sqrt x }}} \right)^2 } } dx  \cr
  & L = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + \frac{{(x - 1)^2 }}
{{4x}}} } \,\,dx  \cr
  & L = \int\limits_0^3 {\sqrt {\frac{{(x + 1)^2 }}
{{4x}}\,\,} } dx  \cr
  & L = \int\limits_0^3 {\frac{{x + 1}}
{{2\sqrt x }}} \,\,dx  \cr
  & L = \left[ {\frac{1}
{3}\left( {x + 3} \right)\sqrt x } \right]_0^3   \cr
  & L = 2\sqrt 3  \cr}
$

"Het is niet nodig de negatieve wortel ook te integreren vermits de lus symmetrisch is t.o.v. de x-as. Je moet het resultaat vermenigvuldigen met twee om de lenge van de volledige lus te krijgen."

De lengte van de lus is $
4\sqrt 3
$

©2004-2024 WisFaq