Voorbeeld 1

---

Vraag

---

Gevraagd: $
\int {\sqrt x }  \cdot \ln (x)\,\,dx
$

---

Uitwerking

---

We gaan partieel integreren.

Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:

$
\int {f(x)g'(x)\,dx = f(x) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx} }
$

Wat moet je nu voor $f$ en $g$ kiezen?

Neem:

$
\eqalign{
  & f(x) = \ln (x)  \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{x}  \cr
  & g'(x) = \sqrt x   \cr
  & g(x) = \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 }  \cr}
$

Je krijgt dan:

$
\eqalign{
  & \int {\sqrt x }  \cdot \ln (x)\,\,dx =   \cr
  & \ln (x) \cdot \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 }  - \int {\frac{2}
{3}\sqrt {x^3 }  \cdot \frac{1}
{x}\,\,dx}  =   \cr
  & \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 }  \cdot \ln (x) - \int {\frac{2}
{3}\sqrt x \,\,dx}  =   \cr
  & \frac{2}
{3}\sqrt {x^3 }  \cdot \ln (x) - \frac{4}
{9}\sqrt {x^3 }  \cr}
$

©2004-2024 WisFaq