Bereken de coördinaten van de keerpunten

Gegeven voor $t=0..2\pi$:

$x(t)= 4sin(t)+2sin(2t)$
$y(t)= 4cos(t)-2cos(2t)$

Bereken de coördinaten van de keerpunten.

Uitwerking

---

Stap 1: het vinden van de $t$-waarden van de keerpunten. Dat geeft een stelsel dat je op moet lossen:

---

$
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 \frac{{dx}}{{dt}} = 0 \\
 \frac{{dy}}{{dt}} = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 4\cos (2t) + 4\cos (t) = 0 \\
 4\sin (2t) - 4\sin (t) = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 \cos (2t) + \cos (t) = 0 \\
 \sin (2t) - \sin (t) = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 2\cos ^2 (t) - 1 + \cos (t) = 0 \\
 2\sin (t)\cos (t) - \sin (t) = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 2\cos ^2 (t) + \cos (t) - 1 = 0 \\
 \sin (t)\left( {2\cos (t) - 1} \right) = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 (\cos (t) + 1)(2\cos (t) - 1) = 0 \\
 \sin (t) = 0 \vee 2\cos (t) - 1 = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 \cos (t) =  - 1 \vee \cos (t) = \frac{1}{2} \\
 \sin (t) = 0 \vee \cos (t) = \frac{1}{2} \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 t = \pi  + k \cdot 2\pi  \vee t = \frac{1}{3}\pi  + k \cdot 2\pi  \vee t = 1\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 2\pi  \\
 t = k \cdot \pi  \vee t = \frac{1}{3}\pi  + k \cdot 2\pi  \vee t = 1\frac{2}{3}\pi  + k \cdot 2\pi  \\
 \end{array} \right. \\
 Voor\,\,[0,2\pi ]: \\
 t = \pi  \vee t = \frac{1}{3}\pi  \vee t = 1\frac{2}{3}\pi  \\
 \end{array}
$

---

Stap 2: vul je de gevonden waarden voor $t$ in de oorspronkelijke parametervoorstelling in om de coördinaten te bepalen.

---

$
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 x(t) = {\rm{ }}4\sin (t) + 2\sin (2t) \\
 y(t) = {\rm{ }}4\cos (t) - 2\cos (2t) \\
 \end{array} \right. \\
 t = \pi : \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 x(\pi ) = {\rm{ }}4\sin (\pi ) + 2\sin (2\pi ) = 0 \\
 y(\pi ) = {\rm{ }}4\cos (\pi ) - 2\cos (2\pi ) =  - 6 \\
 \end{array} \right. \\
 t = \frac{1}{3}\pi : \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 x(\frac{1}{3}\pi ) = {\rm{ }}4\sin (\frac{1}{3}\pi ) + 2\sin (2 \cdot \frac{1}{3}\pi ) = 3\sqrt 3  \\
 y(\frac{1}{3}\pi ) = {\rm{ }}4\cos (\frac{1}{3}\pi ) - 2\cos (2 \cdot \frac{1}{3}\pi ) = 3 \\
 \end{array} \right. \\
 t = 1\frac{2}{3}\pi : \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 x(1\frac{2}{3}\pi ) = {\rm{ }}4\sin (1\frac{2}{3}\pi ) + 2\sin (2 \cdot 1\frac{2}{3}\pi ) =  - 3\sqrt 3  \\
 y(1\frac{2}{3}\pi ) = {\rm{ }}4\cos (1\frac{2}{3}\pi ) - 2\cos (2 \cdot 1\frac{2}{3}\pi ) = 3 \\
 \end{array} \right. \\
 (0, - 6),\,\,(3\sqrt 3 ,3)\,\,en\,\,( - 3\sqrt 3 ,3) \\
 \end{array}
$

---

Je hebt nu de coördinaten van de keerpunten gevonden. Zo moet het kunnen...

---

©2004-2024 WisFaq