Wat is e en ln(x)?

In het algemeen wordt de 'natuurlijke logaritme' en de 'exponentiële functie' in het voortgezet onderwijs niet op een wiskundige manier ingevoerd. Een aantal aspecten worden wel 'aannemelijk' gemaakt maar van een wiskundige aanpak is geen sprake. Dat is jammer. Op deze pagina zet ik het 's op een rijtje.

Appendix - Poisson, de Pruisen en de Lotto.

Definitie

We definiëren allereerst de functie ln(x) door:

$
\ln \left( x \right) = \int\limits_1^x {\frac{1}
{t}} \,dt\,\,voor\,\,x \in {R}\,\,met\,\,x > 0
$

Eigenschappen

De functie ln(x) heet de natuurlijke logaritme en heeft een aantal belangrijke eigenschappen:

1. $ln(a\cdot b)=ln(a)+ln(b)$
2. $ln(\frac{1}{a})=-ln(a)$

De exponentiële functie

De functie ln(x) is continu en strikt stijgend op $<0,\infty>$ met

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\,\ln \left( x \right) = \infty \,\,en\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 0} \,\,\ln \left( x \right) = - \infty
$

Maar dat betekent dat de functie ln(x) een inverse functie heeft gedefinieerd op $<-\infty,\infty>$ met als bereik $<0,\infty>$. Deze inverse functie heet de exponentiële functie.
We noteren deze functie als y=e^x.

De waarde van 'e'

We definiëren e als het unieke getal waarvoor geldt:

$
\large\int\limits_1^e {\frac{1}
{t}} dt = 1
$

Het numeriek oplossen van de vergelijking ln(x)=1 geeft:

e$\approx$2,718281828...

Opmerkelijk:

Als je $y = e^x$ neemt dan $x=\ln y$
Links en rechts differentieren:

$
\eqalign{
& 1 = \frac{1}
{y} \cdot y' \Rightarrow \frac{{y'}}
{y} = 1 \Rightarrow y' = y = e^x \cr }
$

De afgeleide van $y=e^x$ is $y'=e^x$.

Nog iets...

Uit de definitie van ln(x) volgt dat de afgeleide van ln(x) gelijk is aan $\Large\frac{1}{x}$. Uit de definitie van de afgeleide volgt dan:

$
f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln (x + h) - \ln (x)}}{h}
$

Kies $x=1$

$
f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln (1 + h) - \ln (1)}}{h} = 1
$

$
\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{\frac{1}{n} \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\frac{1}{n}}} =  \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n \cdot \ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) =  \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n } \right) = 1 \\
\end{array}
$

Hieruit volgt (met nog wat nadere argumentatie):

$
\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}
{n}} \right)^n = e \cr}
$

Berekenen van e^x

Bovenstaande limiet is niet erg geschikt om e^x te benaderen. Daarvoor gebruikt met doorgaans deze reeks die je met behulp van de reeksontwikkeling van Taylor kan vinden:

$
\large e^x = 1 + \frac{x}
{{1!}} + \frac{{x^2 }}
{{2!}} + \frac{{x^3 }}
{{3!}} + ...
$

Merk op dat bij termgewijs differentiëren je dezelfde reeks krijgt... gelukkig... Uit de machtreeksontwikkeling volgt dan voor x dicht bij nul geldt:

$e^x\approx1+x$ (voor $x$ dicht bij nul)

©2004-2024 WisFaq