\require{AMSmath}

5. Hypergeometrische verdeling

Voorbeeld 1

In een vaas zitten 12 witte en 8 rode knikkers. Je pakt hieruit 4 knikkers zonder terugleggen. Wat is de kans op 3 witte knikkers?

Antwoord

Je kunt deze vraag als volgt beantwoorden.

  1. Bereken P(w,w,w,r)
  2. Bereken het aantal mogelijke volgordes
  3. Bereken de kans op 3 wit en 1 rood

Uitwerking

$\eqalign{
  & P(w,w,w,r) = \frac{{12}}{{20}} \cdot \frac{{11}}{{19}} \cdot \frac{{10}}{{18}} \cdot \frac{8}{{17}} = \frac{{88}}{{969}}  \cr
  & P(3\,\,wit\,\,en\,\,1\,\,rood) = 4 \cdot \frac{{88}}{{969}} = \frac{{352}}{{969}} \cr} $

Hypergeometrische verdeling

Een andere manier om dit soort problemen aan te pakken is met de volgende 'redenering':

Als je niet op de volgorde let, dan zijn er
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
3 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 3 van de 12 witte knikkers te pakken.
Er zijn $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
8 \\
1 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 1 van de 8 rode knikkers te pakken.
In totaal zijn er dus $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
3 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
8 \\
1 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 3 witte en 1 rode knikker uit de vaas te pakken.
In totaal zijn er $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{20} \\
4 \\
\end{array}} \right)
$ manieren om 4 knikkers uit de vaas te pakken.

P(3 wit en 1 rood)=$
\frac{{\left({\begin{array}{*{20}c}
{12}\\
3\\
\end{array}}\right)\cdot\left({\begin{array}{*{20}c}
8\\
1\\
\end{array}}\right)}}{{\left({\begin{array}{*{20}c}
{20}\\
4\\
\end{array}}\right)}}=\Large\frac{{352}}{{969}}
$

Algemeen

In een vaas bevinden zich a witte en b rode knikkers. Je pakt er n knikkers uit. De kans op k witte knikkers is dan

$
P(X = k) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
k \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
b \\
{n - k} \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a + b} \\
n \\
\end{array}} \right)}}
$

Voorbeeld 2

In een klas zitten 12 jongens en 15 meisjes. Uit deze klas gaan 5 leerlingen een feest organiseren. Je kiest willekeurig 5 leerlingen. Wat is de kans dat er 3 jongens (en dus 2 meisjes) in dit comité zitten?

Antwoord

$
P(X = 3) = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
3 \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
{15} \\
2 \\
\end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}c}
{27} \\
5 \\
\end{array}} \right)}} = 0,286
$

...en dat is toch handig!

Met de GR?

Met de grafische rekenmachine kan je dat zo berekenen:

Zie ook 3. Combinaties

Voorbeeld 3

De hypergeometrische verdeling heeft nog een voordeel: het werkt ook bij meerdere mogelijkheden.

  • In een vaas zitten 5 rode, 4 groene en 1 blauwe knikker. Je pakt 3 knikkers uit de vaas zonder terugleggen. Bereken de kans op 3 verschillende kleuren.
    Antwoord

F.A.Q.


©2004-2024 WisFaq