\require{AMSmath}

2. Rekenen met kansen

Met kansen kun je rekenen. Men spreekt daarom wel van kansrekenen. Meestal moet je daarbij goed blijven nadenken.... het belangrijkste is te onthouden dat een kans nooit kleiner dan nul en niet groter dan één kan zijn.

Voorbeeld

"Nederland is een mooi land, de helft van de tijd regent het, en als je met de auto gaat sta je 8 van de 10 keer in de file...."

De kans dat het morgen regent is 0,5 en de kans dat je in de file komt te staan is 0,8.
Wat is nu de kans dat als je morgen met de auto gaat het regent of dat je in de file staat of misschien zelfs wel beide ?

In ieder geval NIET 0,5 + 0,8 = 1,3
Of nog erger: 0,5 + 0,8 + 0,5 · 0,8 = 1,7
Maar wat dan wel? Hier komen we nog op terug.....

Complementaire kansen

Een belangrijk begrip is het begrip complementaire kansen. Dit betekent dat als de kans op een gebeurtenis A bijvoorbeeld p is, dan is de kans dat deze gebeurtenis niet optreedt het complement van A. De kans op niet-A is 1-p.

Dat lijkt simpel, maar kan toch erg handig zijn.

Voorbeeld

Je gooit met 10 munten. Wat is de kans op minstens 1 kop ?

P(minstens 1 kop)=1 - P(nul kop)= 1 - 0,510=0,999
  1. Wat is de kans op minstens 2 kop ?

Optelregel

Als de gebeurtenissen A en B disjunct zijn geldt: P(A of B) = P(A) + P(B).
(Disjunct betekent dat de gebeurtenissen A en B 'elkaar uitsluiten', d.w.z.: als A gebeurt, dan gebeurt B niet en als B gebeurt, gebeurt A niet...)
Men spreekt in dit verband wel van of-kansen.

Voorbeeld 1

We gooien met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je 4 of 5 gooit?
De kans op een 4 is 1/6 en de kans op een 5 is ook 1/6.
De kans op een 4 of een 5 is dus 1/6 + 1/6 = 1/3.

Voorbeeld 2

We gooien met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je een 2 gooit of een even getal ?
Je kunt nu niet zeggen: de kans op een 2 is 1/6, de kans op eeneven getal is 1/2, dus de kans op een 2 of een even getal is 2/3.
Immers 2 is ook een even getal! Dus de gebeurtenis 'je gooit een 2' zit al verwerkt in de gebeurtenis 'je gooit even'.
In zo'n geval moet je gewoon tellen. Er zijn 6 mogelijke uitkomsten, 3 van de 6 uitkomsten zijn 'gunstig'. Dus de kans is een 1/2.

  1. Je gooit met een dobbelsteen. Wat is de kans op een 3 of een even getal ?
  2. Je gooit met twee dobbelstenen. Wat is de kans dat je een 5 gooit of een even getal ?

Vermenigvuldigingsregel

Als A en B onafhankelijk zijn geldt: P(A en B) = P(A) · P(B).
Dat geldt dus alleen als de gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn.
Op (on)afhankelijkheid komen we nog uitgebreid terug.

Men spreek in dit verband wel van en-kansen.

Voorbeeld 1

Je gooit met een dobbelsteen en een munt. Wat is de kans dat je 4 gooit en munt?
Beide gebeurtenissen zijn onafhankelijk.
P(je gooit 4)=1/6.
P(munt)=1/2.
Dus P(je gooit 4 en munt)=1/6·1/2=1/12

Voorbeeld 2

Je gooit met 3 munten. De verschillende mogelijkheden staan in het boomdiagram hiernaast.
Bij elke tak hoort een kans van een 1/2. (Deze munten zijn eerlijk!)
Met behulp van de vermenigvuldigingsregel reken je uit:
P(KMM) = 1/2·1/2·1/2 = 1/8
  1. Wat is de kans op 1 kop ?
  2. Wat is de kans op minstens 1 kop ?

F.A.Q.

Antwoorden


©2004-2024 WisFaq